Topologie - Espace topologique
Définition
Définition d'une topologie :
- soit \(E\) un ensemble
- on prend \(\tau\in{\mathcal P}(E)\)
- \(\varnothing\in\tau\)
- \(E\in\tau\)
- \(\tau\) est stable par union quelconque
$$\Huge\iff$$
- \((E,\tau)\) est un espace topologique
- on appelle ouverts les éléments de \(\tau\)
- on appelle \(\tau\) la topologie de \((E,\tau)\)
END
(
Ouvert,
Ensemble vide)
Définition :
Les fermés de \((E,\tau)\) sont les complémentaires des ouverts
(
Fermé,
Complémentaire)
Remarque :
On peut aussi définir une topologie par les fermés (les propriétés sont \(\iff\))
Exemples
Topologie grossièreTopologie discrèteTopologie usuelleTopologie cofinie
1-topologie
Définition :
On appelle \(\tau={{\{\{a\},\varnothing,E\}\;(a\in E)}}\) une \(1\)-topologie
Propriétés
Finesse d'une topologieTopologie engendrée
Intersection de topologies
Lemme d'intersection de topologies :
- \((\tau_i)_{i\in I}\) sont des topologies sur \(E\) (avec \(I\) dénombrable ou pas)
$$\Huge\implies$$
- \(\bigcap_{i\in I}\tau_i\) est une topologie sur \(E\)